\n ## Code Snippets: Mathematical Proofs & Computations ### Overview The image contains three columns of code snippets, likely representing mathematical proofs or computations performed in a formal verification system (possibly Coq, based on the syntax). The snippets appear to be related to algebraic manipulations and simplification, potentially within a topological context. The left column is labeled "LLM", the middle column "APOLLO", and the right column "LLM + APOLLO". The code is primarily in English keywords interspersed with mathematical notation. ### Components/Axes There are no axes or traditional chart components. The image is structured as three independent code blocks. Each block contains a series of lines, each representing a step in a proof or computation. The code uses keywords like `theorem`, `have`, `by`, `simp`, `rewrite`, `induction`, `assert`, `elim`, `constructor`, `apply`, `auto`, `done`, `norm`, `try`, `linearith`, `ring`, `field`, `solve`, `split`, `left`, `right`, `destruct`, `intros`, `generalize`, `replace`, `eq`, `forall`, `exists`, `in`, `of`, `with`, `using`, `native`, `decision`. Mathematical symbols include +, -, *, /, =, <, >, (, ), {, }, [, ], :, ;, ^, and various Greek letters. ### Detailed Analysis or Content Details **LLM (Left Column)** * `set_option maxheartbeats 0` * `set_option pp.numerictypes true` * `set_option pp.coercions.types true` * `open BigOperators Real Nat Topology Rat` * `theorem algebra.2varlinearseq.fplseqli_3tfminseqn6_feqnio.seq?` * `(h1 : (f x) = (g x))`: A hypothesis stating that f(x) equals g(x). * `(h2 : (f x) = (11 : Z))`: A hypothesis stating that f(x) equals 11. * `(h3 : (g x) = (5 : Z))`: A hypothesis stating that g(x) equals 5. * `(C) : (11 : Z) = (5 : Z)`: The goal to prove, which is a contradiction. * `have (3 * f x) = (3 * 11 : Z)` by `simp` * `have (3 * f x) = 33 : Z` by `simp` * `have (3 * g x) = (3 * 5 : Z)` by `simp` * `have (3 * g x) = 15 : Z` by `simp` * `have (3 * f x) - (3 * g x) = 33 : Z - 15 : Z` by `simp` * `have (3 * f x) - (3 * g x) = 18 : Z` by `simp` * `have 3 * (f x - g x) = 18 : Z` by `simp` * `have (f x - g x) = 6 : Z` by `ring` * `have (11 : Z) - (5 : Z) = 6 : Z` by `simp` * `have 6 : Z = 6 : Z` by `simp` * `assert False` by `contradiction` * `done` **APOLLO (Middle Column)** * `set_option maxheartbeats 0` * `set_option pp.numerictypes true` * `set_option pp.coercions.types true` * `open BigOperators Real Nat Topology Rat` * `theorem algebra.2varlinearseq.fplseqli_3tfminseqn6_feqnio.seq?` * `(h1 : (f x) = (g x))`: A hypothesis stating that f(x) equals g(x). * `(h2 : (f x) = (11 : Z))`: A hypothesis stating that f(x) equals 11. * `(h3 : (g x) = (5 : Z))`: A hypothesis stating that g(x) equals 5. * `(C) : (11 : Z) = (5 : Z)`: The goal to prove, which is a contradiction. * `have (3 * f x) = (3 * 11 : Z)` by `simp` * `have (3 * f x) = 33 : Z` by `simp` * `have (3 * g x) = (3 * 5 : Z)` by `simp` * `have (3 * g x) = 15 : Z` by `simp` * `have (3 * f x) - (3 * g x) = 33 : Z - 15 : Z` by `simp` * `have (3 * f x) - (3 * g x) = 18 : Z` by `simp` * `have 3 * (f x - g x) = 18 : Z` by `simp` * `have (f x - g x) = 6 : Z` by `ring` * `have (11 : Z) - (5 : Z) = 6 : Z` by `simp` * `have 6 : Z = 6 : Z` by `simp` * `assert False` by `contradiction` * `done` **LLM + APOLLO (Right Column)** * `have eq : (58 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0 : (0